CONTINUITE
(c,d)ÎR² tels que c<d
Fonction continue
f fonction définie sur ]c,d[
x0Î]c,d[
f(x)®f(x0)
quand x®x0
Þ
f est continue en x0
E Ì ]c,d[
une fonction continue
sur E est continue en tout point de E
Théorème
f fonction continue sur ]c,d[
J intervalle tel que J Ì ]c,d[
· f(J) est un intervalle
· J intervalle fermé Þ f(J) intervalle fermé
Rq : J intervalle ouvert Þ f(J)
intervalle ouvert
f(J)
J
Théorème des valeurs intermédiaires
f fonction continue sur ]c,d[
J intervalle fermé, J Ì ]c,d[
· la
restriction de f à J atteint
*
sa borne supérieure
*
sa borne inférieure
* toute valeur intermédiaire (comprise entre ces 2 bornes)
i.e. $MÎC, M = Inf(f(J))
$M'ÎC, M' = Sup(f(J))
DERIVABILITE
Fonction dérivable
f fonction définie sur ]c,d[
x0Î]c,d[
lim f(x) – f(a) = A (A, limite finie) Þ f
est dérivable en a
x ® a
x – a
La valeur A est la dérivée de f en a, notée f '(a)
E Ì ]c,d[
Une fonction dérivable sur E est une fonction dérivable en tout point de E.
Rq : f fonction
f dérivable Þ f continue
(a,b)ÎR², a<b
Théorème de Rolle
f fonction
· continue sur [a,b]
· dérivable sur ]a,b[
· f(a) = f(b)
Þ $cÎ]a,b[ , f '(c) = 0
Dém
f constante
f non constante
