POLYNOMES
Formule de Taylor pour un polynome
de degré £
n
"(a,b)ÎR², P(b) = P(a) + (b-a). P'(a) + … + (b-a)/n! . P (n)
(a)
FONCTIONS
Formule de Taylor avec reste de
Lagrange (ordre 2)
f
une fonction
continue sur [a,b]
dérivable sur ]a,b[
Þ $cÎ]a,b[ , f(b) = f(a) + (b-a). f'(a) + (b-a)/2! f''(c)
J intervalle ouvert contenant a
f
une fonction
f'
dérivée de f
continue
dérivable sur J
Þ "h, a+hÎJ
$qÎ]0,1[, f(a+h) = f(a) + h.f'(a) + h²/2! f''(a+qh)
Formule de Taylor avec reste de
Lagrange
f
une fonction
f
(n-1) dérivée n-1 e de f
continue sur [a,b]
dérivable sur ]a,b[
$cÎ]a,b[, f(b)
= f(a) + (b-a). f'(a) + … + (b-a)n /n! . f (n) (c)
Rq : on peut inverser l'ordre de a et b
J intervalle ouvert contenant a
f
(n-1) dérivée n-1 e de f
continue sur J
dérivable sur J
"h, a+hÎJ,
$qÎ] 0,1[, f(a+h)
= f(a) + h.f'(a) + … + h n /n! . f (n) (a+hq)
Þ pour faire des approx
Formule de MacLaurin avec reste de Lagrange Û formule de
Taylor avec reste de Lagrange pour a = 0
f(x)
= f(0) + x. f'(0) + x²/2! f''(0) + … +
x n /n! . f (n) (qx)
Formule de Taylor avec reste
d'Young
J intervalle ouvert
f
une fonction
f
(n-1) dérivée n-1 e de f
continue sur J
dérivable en
aÎJ
"xÎJ, f(x) =
f(a) + (x-a). f'(a) + … + (x-a)n /n! . f (n) (a) + (x-a)
n . e(x)
avec e(x) x®a ® 0
Formule de MacLaurin avec reste d'Young Û formule de
Taylor avce reste d'Young pour a = 0
f(x)
= f(0) + (x). f'(0) + … + x n /n! . f (n) (0) + x n . e(x)
Ex :
sin(x)
= x – x3/3! + x5/5! – x7/7! + x8
e(x) - … -xn e(x)
1/(1-x)
= 1 + x + x² + … + xn + xn e(x)
1/(1+x)
= 1 – x + x² - x3 + … + (-1)n xn + xn
e(x)
ln
(1+x) = 1 – x²/2 - x3/3 - …
+ (-1)n xn + xn e(x)
1/(1+x²)
= 1 – x² + x4 – x6 + … + (-1)n x2n+1 /
2n+1 + x2n+1 e(x)
(1+x)a = 1 + ax + a(a-1) x²/2 + a(a-1)(a-2) x3/3! + … + a(a-1)…(a-n+1) xn/n! + xn e(x)
Ö (1+x) = 1 + 1/2 x – 1/8 x²
+ 1/16 x3 + x3 e(x)
tan(x)
= x + 1/3 x3 + 2/15 x5 + 17/135 x7 + x7
e(x)
Applis
calcul de limite
étude d'une courbe au voisinage d'un point
étude de branches infinies