f
continue monotone sur [a,b]
f(a).f(b)<0
Valeur approchée
e>0
|s-c|<e Þ c est une
valeur approchée de s à e près
Méthode de dichotomie
c = (a+b)/2
f(a).f(c)< 0 Þ sÎ[a,c]
³0 Þ sÎ[c,b]
a b
c s
La
suite des points c converge vers s
Algo
Saisir(a,b,e)
c
ß (a+b)/2
Tant
que (b-a)>2e faire
Si f(a).f(c)>0
Alors
a ß c
Sinon
b ß c
fsi
c ß (a+b)/2
ftq
Afficher(c)
Méthode de LAGRANGE
c s
Abscisse
de c ?
c
= a.f(b)
– b.f(a)
f(b) – f(a)
Algo
"xÎ[a,b], f'(x).f''(x)>0 Þ
Saisir(a,b,e)
c
ß a
Répéter
c ß c.f(b) –
b.f(c)
f(b) – f(c)
Tant
que f(c).f(c+e)³0
(i.e. tant que sÏ[c,c+e])
Afficher(c)
Théorème
Hyp :
* f admet une dérivée seconde
f'' continue sur [a,b]
* f(a).f(b) <0
* "xÎ[a,b], f'(x).f''(x)¹0
La suite cn est monotone et converge vers
s
Quand "xÎ[a,b],
f '(x).f ''(x) < 0
c0 = a
cn+1 = cn.f(b) – b.f(cn) n ³
0
f(b) – f(cn)
f'(x).f''(x) ³ 0
c0 = b
cn+1 = cn.f(a) – a.f(cn) n ³
0
f(a) – f(cn)
De plus, "xÎ[a,b], 0 < m £ |f'(x)| £ M
Þ 0 < |s – cn+1| < (M-m)/m |cn+1 – cn|
Méthode de
NEWTON
a s α b
c
Algorithme (cas où "xÎ[a,b], f'(x).f''(x)>0)
Saisir(b,
e)
c
¬ b
Répéter
c ¬ c – f(c)/f'(c)
Tant
que f(c).f(c-ε) ³ 0
Afficher(c)
(c contient une val approchée de s à ε près)
Rq : en fait, on s'arrêt quand on a 2 fois la même
valeur de c
Théorème
Hyp : f admet une dérivée
seconde f'' continue sur [a,b]
f(a).f(b) >0
"xÎ[a,b], f'(x).f''(x) ¹0 (f
strictement monotone)
La suite cn c0 = b
(f'(x).f''(x) > 0)
c0
= a
< 0
cn+1 = cn – f(cn)/f'(cn) (n ³ 0)
est monotone et converge vers s
De plus, si A et m,
constantes telles que
"xÎ[a,b], 0 < m ≤ |f'(x)| et 0 < |f''(x)| ≤ A
Þ 0 < |cn –
s | ≤ (cn – s )² . A/2m ≤ (b – s)2n
. (A/2m)2n-1