Aire triangle = base ´ haauteur / 2
Aire
trapèze = (base + Base)/2 ´ hauteur
Thalès
[a,b]
fermé borné
fÎC°([a,b])
ób
│ f(x) dx = aire algébrique entre les courbes y = f(x)
et y = 0 sur [a,b]
õa
Additivité
ób óa
óc ób
│ f(x) dx = - │ f(x) dx = │ f(x)
dx + │ f(x) dx
õa õb õa õc
Linéarité de l'intégrale
ób ób ób
│ [ f(x) + g(x) ] dx = │ f(x) dx + │ g(x) dx
õa õa õa
∫
l. f(x) dx = l ∫ f(x) dx
F primitive de f Þ
ób
│ f(x) dx = F(b) – F(a)
õa
Intégration par parties
fÎC°([a,b]) et gÎC°([a,b]) Þ
ób é ù b ób
ô f(x) . g'(x) dx = ô f(x) . g(x)ô - ôf'(x) . g(x) dx
õa ë û a õa
Chgt de variable
*
u
bijective : [a,b] ® [c,d]
*
u(a)
= c
*
u(b)
= d
*
u'
continue
Þ
ób óu(b)
ô f(u(t)) . u'(t) dt = ôf(x) dx
õa õu(a)
(u
bijective : [a,b] ® [c,d] Þ u' ne s'annule jamais (sauf en c et d))
Inégalités
"xÎ[a,b]
ób
f(x) ³ 0 Þ ô f(x) dx ³ 0
õa
ób ób
g(x) ³ f(x)
Þ
ô g(x) dx ³ ô f(x) dx
õa õa
ób ób
ô │f(x)│ dx
³ ô f(x) dx
õa õa
ób
(b-a) sup xÎ[a,b]│f(x)│
³ ô f(x) dx
õa
∫
xn dx =
·
n¹ -1 x
n+1
n + 1
·
n
= -1 ln│x│
a
. ln(b) = ln (b)a
∫
e ax dx = e x
a
∫
sin² : linéariser
cos²
+ sin² = 1
sin
² (x) = 1 – cos (2x)
2
Tte
fc° CONTINUE sur un intervalle BORNE
FERME a une intégrale
Attn : qd on fait des chgmts de variables successifs, f
reste la même
f
paire Þ
óa óa
ô f(x) dx = 2 . ô f(x) dx
õ- a õ0
f
impaire Þ
óa
ô f(x) dx = 0
õ- a
Mq un est monotone strictmt croissante Û mq "n, un+1 ³ un
f'(x)
³ 0 Û f est croissante
Intégrale généralisée
[a,b]
non fermé : [a,b[ ou ]a,b] ou ]a,b[
ób ób
ô f(x) dx = lim ô f(x) dx
õa e®a+ õe
[a,+¥[
ó+¥ óX
ô f(x) dx = lim ô f(x) dx
õa X®+¥ õa